Wiskunde wordt door velen gezien als de meest betrouwbare wetenschap. Je kunt een berekening op een probleem loslaten en de uitkomst controleren. Wie zou weerleggen dat 1 plus 1 het resultaat 2 geeft? Toch is er in de wiskunde ook onzekerheid. Heel direct wordt dat zichtbaar door de onopgeloste wiskundeproblemen (zoals de millennium problemen) maar ook bij problemen waar al eenduidige oplossingen voor zijn geformuleerd (die binnen de wiskunde al worden gedragen) geldt die onzekerheid. Niet in het minste komt dat kijken bij existentiële vragen, iets waarover zich een geheel eigen gebied van de filosofie zich buigt, met boegbeelden als Danie Strauss. Bij deze existentiële dilemma's kan bijvoorbeeld worden gedacht aan de grote vraag hoe een oneindig getal moet worden begrepen. Kleiner zijn er de dilemma's zoals wat het midden tussen twee tienden is, terwijl oneindig kan worden gesplitst. Geconcludeerd zou kunnen worden dat er houvast is: namelijk dat het oneindig doorgaat, maar toch betekent dit ook geen vat op een uiteindelijk getal. Ook het domein van de kansberekening ontkomt niet aan vraagtekens. En bij de gemiddelde voorbijganger op straat leven er, zelfs bij situaties in de kansberekening waar de wiskunde het antwoord al op heeft geformuleerd, nog tal van dilemma’s. Een van deze vraagtekens wil ik in dit artikel graag bespreken en de voorbijganger (vanuit filosofisch perspectief) meer grip geven.
Ik zal, om het probleem te duiden, het praktisch maken en een dobbelsteen nemen, die zoals u weet 6 zijden heeft. Dit betekent dat (iedere keer weer) het bij een worp een kans van 1 op 6 is dat er een 1, 2, 3, 4, 5 of 6 wordt gegooid. Maar nu komt het dilemma. Want over welk experiment we het ook maar hebben (zelfs bij die gevallen waarbij in beginsel een kans van 1 op een miljoen bestaat), we zouden ook kunnen zeggen dat een uitkomst wel of niet zal gaan voorkomen. Om het bij de dobbelsteen te houden is er de kans van 1 op 6 dat bijvoorbeeld een 1 wordt gegooid. Maar ook zouden we kunnen zeggen, wanneer we een uitkomst (zoals 1) nemen, dat er sprake is van twee keuzes: het aantal had wel of niet kunnen worden gegooid. Hieruit volgend zouden er dus meerdere kansen tegelijk kunnen spelen op een enkel resultaat. En dat bij elk experiment, aangezien bij elke uitkomst deze uitkomst wel of niet zou kunnen plaatsvinden. Maar hebben we bij een dobbelsteen dan zowel te maken met een kans van 1 op 6 als de kans 1 op 2? Dat is toch een interne tegenstrijdigheid? Iets kan toch niet tegelijkertijd iets anders zijn?
Laten we eens spelenderwijs tot een oplossing proberen te komen. Het zou misschien gemakkelijk kunnen zijn om van beide kansen het gemiddelde te nemen? Een gemiddelde van de gebruikelijke kans van 1/6 en 1/2. Bij een dobbelsteen dan 1/6 plus 1/2 (wat 4/6 maakt) gedeeld door 2, met als resultaat 2/6. Bij een driesprong 1/3 plus 1/2 (wat 5/6 maakt) gedeeld door 2, met als resultaat 5/12. Toch zult u aanvoelen dat dit voorstel niet de juiste oplossing geeft; er wordt daardoor geen recht gedaan aan de genoemde kansen. Het resultaat van een dobbelsteenworp is simpelweg een kans van 1 op 6 en ook valt niet te ontkennen dat de uitkomst wel of niet kan worden gegooid. Het gemiddelde daartussen nemen dient geen wiskundig doel en omzeilt de vraag hoe beide situaties tegelijkertijd kunnen bestaan.
De oplossing die ik zou willen aandragen voor dit dilemma is dat er eigenlijk helemaal geen tegenstrijdigheid is. Het zou namelijk alleen een dilemma zijn, wanneer beide situaties elkaar uitsluiten. Ik benadruk nogmaals graag dat het wat mij betreft een feit is dat, bij welke situatie ook waar meerdere kansen zijn (zoals de 1/6 bij een dobbelsteen), er daarnaast die is van het al dan niet kunnen krijgen van een bepaalde uitkomst (de 1/2). Dat dit naast elkaar kan bestaan komt in mijn opinie omdat er sprake is van drie verschillende dimensies, als in realiteiten, die elkaar niet raken. Het zijn andere domeinen, die ik voor het gemak (andere woorden zouden ook kunnen worden gekozen) zou willen typeren als die van de algemene kans, de wel-of-niet kans en het toeval.
Wanneer we een dobbelsteen gooien, kunnen we een voorspelling doen: we denken dat in de toekomst (wanneer het resultaat van de worp bekend zal zijn) de uitkomst in zijn algemeenheid 1, 2, 3, 4, 5 of 6 kan zijn. Het is daardoor algemeen waarschijnlijk (de eerste dimensie) dat de kans dat een 1 wordt gegooid 1/6e is van alle mogelijkheden. Bij deze waarschijnlijkheid nemen we dus alle (in dit geval 6) mogelijkheden mee in de schatting van de mogelijkheid van het ene. Wanneer we daarna gaan inzoomen op de uitkomst (bijvoorbeeld zijde 1 van de dobbelsteen) vervalt de algemeenheid en kijken we enkel naar de mogelijkheden van het resultaat alleen (de dimensie van het wel of niet). En bij een resultaat doet zich dan dus de kans voor van 1 op 2. Wat uiteraard iets anders is dan te zeggen dat wanneer je een dobbelsteen gooit, de kans dat je een 1 gooit eigenlijk dus 1 op 2 is.
Een derde fenomeen dat vrijwel altijd opdoemt wanneer resultaten van kansberekeningen worden bezien, is dat het resultaat van een enkelvoudig experiment afwijkt van het geprognotiseerde percentage (enkel bij massa experimenten wordt de lijn van het geprognotiseerde percentage zichtbaar, de zogeheten Wet van de grote getallen). Want hoewel de kans dat bij een dobbelsteen 1 wordt gegooid theoretisch 1 op 6 is, hoeft het in de praktijk niet zo te zijn dat na 6 worpen al de zijden de revue hebben gepasseerd. Sterker, voor hetzelfde geld wordt in een reeks van 1000 worpen geen 1 gegooid. Dit gebeuren, dat het resultaat niet gebonden is aan het geprognotiseerde (of we het nu hebben over de eerste of tweede dimensie) zou ik het toeval willen noemen. Een dimensie waardoor voor de uitkomst van de worp met de dobbelsteen naast de 1/6 en de 1/2 kans ook nog een onnoembare kans bestaat die pas kenbaar wordt bij de uitkomst van waarover geschat wordt; het reële. Om van dit laatste een voorbeeld te geven: stel dat na 100 worpen pas zijde 1 wordt gegooid. Wanneer we teruggaan naar het moment voor de eerste worp en de kans berekenen dat dit na 100 worpen zal gebeuren, is het aantal mogelijkheden zeer groot. Het is toeval dat de 1 na 100 worpen wordt gegooid en niet binnen de eerste 6. Hoewel het toeval lijkt af te nemen naarmate vaker wordt gegooid. Het zijn deze drie dimensies die, omdat ze betrekking hebben op het experiment, wat mij betreft in ogenschouw moeten worden genomen bij een dilemma als die van de naast elkaar staande kansen.
Samenvattend: het in eerste instantie genoemde dilemma kan te niet worden gedaan door onderscheid te maken tussen de factoren die bij het dilemma een rol spelen, te onderzoeken wat het eigene is van elke factor en (in dit geval) te zien dat de factoren ieder een eigen dimensie hebben die niet interveniëren, waardoor dus geen sprake is en kan zijn van tegenspreken of uitsluiten. Net als dat tijd en ruimte elkaar niet hinderen. Iets dat wat mij betreft ook ontward kan worden bij een veelheid aan andere dilemma's. Waar ik iedereen uiteraard graag toe oproep.
